Algebra lineare Esempi

$A = [\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 0 - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $\frac{1}{7}$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.4

Sottrai $λ$ da $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - λ & 7 \\ \frac{1}{7} & - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = - λ (- λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.2.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.4

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = λ^{2} - \frac{1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{7}$ nel numeratore.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$p (λ) = λ^{2} + \frac{- 1}{7} \cdot 7$

Passaggio 1.5.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 1 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ^{2} = 1$

Passaggio 1.7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.7.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$λ = \pm 1$

Passaggio 1.7.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$λ = 1$

Passaggio 1.7.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$λ = - 1$

Passaggio 1.7.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$λ = 1, - 1$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 - 0 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $0$ da $7$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $0$ da $\frac{1}{7}$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 7 & - 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & - 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & - 1 - \frac{1}{7} \cdot - 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 7 y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 y \\ y \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 0 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 + 0 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $7$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $\frac{1}{7}$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 0 + 1 \end{array}]$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $0$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 \\ \frac{1}{7} & 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} & 1 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Trova la forma ridotta a scala per righe di Echelon.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{7} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ \frac{1}{7} - \frac{1}{7} \cdot 1 & 1 - \frac{1}{7} \cdot 7 & 0 - \frac{1}{7} \cdot 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Semplifica $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + 7 y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 7 y \\ y \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Passaggio 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$

Passaggio 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 7 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 7 \\ 1 \end{array}]}$